Alguma geometria com o Cinderella

• O que dirá o Teorema de Napoleão? 
  Sobre os lados de um triângulo [ABC] constroem-se triângulos equiláteros. Constrói-se um outro triângulo unindo os circuncentros dos triângulos equiláteros. Movimenta-se agora um dos vértices do triângulo [ABC]. Que conjectura poderemos formular? 
  Vê o applet aqui.

• Pretende-se achar um ponto no interior de um triângulo equilátero cuja soma das distâncias aos três lados seja a menor possível. Vê o applet e formula a tua conjectura.

• Que figura se obtém quando se unem os pontos médios dos lados consecutivos de qualquer quadrilátero? Vê o applet e testa as tuas conjecturas.

• Qual é a relação entre um ângulo exterior de um qualquer triângulo e os dois ângulos interiores opostos? Vê o applet e formula a tua conjectura.

• Os segmentos que unem os vértices de um triângulo aos pontos médios dos lados opostos chamam-se medianas do triângulo. As medianas intersectam-se num ponto, o Baricentro. Este ponto divide cada mediana em dois segmentos. Qual a razão entre eles? Vê o applet e tira as tuas conclusões.

• Ângulo ao centro é um ângulo cujo vértice coincide com o centro de uma circunferência. Ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice está sobre uma circunferência. Considere-se um arco de circunferência e a partir dele desenhem-se os ângulos inscrito e ao centro. Qual será a relação entre eles? Vê o applet e descobre! 

• Um triângulo inscrito numa semicircunferência é sempre um triângulo....? Vê o applet e descobre tu mesmo!

• Considera duas rectas paralelas, r e s. Na recta s constrói o segmento [BC] e na outra recta dois pontos  A e X. Considera agora os triângulos [ABC] e [XBC]. Qual é a relação entre as suas áreas? És capaz de explicar por que razão assim é? O applet ajudar-te-á a visualizar a situação.

• Quem não conhece o velho Teorema de Pitágoras? "Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos". Proponho que olhes para este resultado de um ponto de vista geométrico. Reformulemos então o Teorema de Pitágoras: "Num triângulo rectângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos". Vê o applet e convence-te!

• Os lados de um triângulo [ABC] foram divididos em quatro partes iguais e cada um dos vértices foi unido a um dos novos pontos, formando um novo triângulo, como podes ver no applet. Qual é a proporção entre as áreas dos dois triângulos?

• A figura representa um rectângulo que se dividiu em triângulos, como podes ver no applet. Apenas por observação ou, no máximo, construindo uma linha auxiliar, serás capaz de descobrir a razão entre a área da região vermelha e a área da região alaranjada? 

• Não sei bem como qualificar isto. Trata-se de um sistema de barras que descreve uma "órbita". O melhor é verem o applet.

• Um "pêndulo" que descreve um arco. Vejam o applet e digam-me se gostam do efeito.

• Barras que geram oitos e circunferências. Vejam o applet.

• Um "universo" imaginário. "Planetas" que aparecem e desaparecem. Um "sol" sempre visível. Vejam o applet.

• Uma aranha mecânica que tece a sua teia.Vê o applet.

• A dança das circunferências. Vê o applet.

• Moléculas agitadas. Ora vê o applet.

• Serão bolhas? O que as faz mover? Vê o applet e decide.